2024 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

若 $z=5+\mathrm{i}$, 则 $\mathrm{i}(\bar{z}+z)=(\quad)$
A. 10 i
B. 2 i
C. 10
D. 2

已知集合 $A=\{1,2,3,4,5,9\}, B=\{x \mid \sqrt{x} \in A\}$, 则 $C_{A}(A \cap B)=(\quad)$
A. $\{1,4,9\}$
B. $\{3,4,9\}$
C. $\{1,2,3\}$
D. $\{2,3,5\}$

若 $x, y_{\text {满足约束条件 }\left\{\begin{array}{l}4 x-3 y-3 \geq 0 \\ x-2 y-2 \leq 0 \\ 2 x+6 y-9 \leq 0\end{array} \text {, 则 } z=x-5 y \text { 的最小值为 }(\quad), \$ ~\right.}$
A. $\frac{1}{2}$
B. 0
C. $-\frac{5}{2}$
D. $-\frac{7}{2}$

记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $S_{5}=S_{10}, a_{5}=1$, 则 $a_{1}=($ )
A $\frac{7}{2}$
B. $\frac{7}{3}$
C. $-\frac{1}{3}$
D. $-\frac{7}{11}$

已知双曲线的两个焦点分别为 $(0,4),(0,-4)$, 点 $(-6,4)$ 在该双曲线上, 则该双曲线的离心率为 ( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. $\sqrt{2}$

设函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}+2 \sin x}{1+x^{2}}$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$

已知 $\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}=\sqrt{3}$, 则 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$ ( )
A. $2 \sqrt{3}+1$
B. $2 \sqrt{3}-1$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $1-\sqrt{3}$

设向量 $\vec{a}=(x+1, x), \vec{b}=(x, 2)$, 则（ ）
A. " $x=-3$ "是" $\vec{a} \perp \vec{b} "$ 的必要条件
B. " $x=-3 "$ 是" $\vec{a} / / \vec{b} "$ 的必要条件
C. " $x=0$ "是" $\vec{a} \perp \vec{b}$ "的充分条件
D. " $x=-1+\sqrt{3}$ "是" $\vec{a} / / \vec{b}$ "的充分条件

设 $\alpha 、 \beta$ 为两个平面， $m 、 n$ 为两条直线，且 $\alpha \cap \beta=m$ 。下述四个命题:
(1)若 $m / / n$, 则 $n / / \alpha$ 或 $n / / \beta$
(2)若 $m \perp n$, 则 $n \perp \alpha$ 或 $n \perp \beta$
(3)若 $n / / \alpha$ 且 $n / / \beta$, 则 $m / / n$
(4)若 $n$ 与 $\alpha, \beta$ 所成的角相等, 则 $m \perp n$
其中所有真命题的编号是（）
A. (1)(3)
B. (2)(4)
C. (1)(2)(3)
D. (1)(3)(4)

在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$, 若 $B=\frac{\pi}{3}, b^{2}=\frac{9}{4} a c$, 则 $\sin A+\sin C=(\quad)$
A. $\frac{2 \sqrt{39}}{13}$
B. $\frac{\sqrt{39}}{13}$
C. $\frac{\sqrt{7}}{2}$
D. $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

已知 $b$ 是 $a, c$ 的等差中项, 直线 $a x+b y+c=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}+4 y-1=0$ 交于 $A, B$ 两点, 则 $|A B|$ 的最小值为（）
A. 1
B. 2
C. 4
D. $2 \sqrt{5}$