2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科

设全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$, 集合 $M$ 满足 $\partial_{j} M=\{1,3\}$, 则 ()
A. $2 \in M$
B. $3 \in M$
C. $4 \notin M$
D. $5 \notin M$

已知 $z=1-2 i$ ，且 $z+a \bar{z}+b=0$ ，其中 $a, b$ 为实数，则（)
A. $a=1, b=-2$
B. $a=-1, b=2$
C. $a=1, b=2$
D. $a=-1, b=-2$

已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=\sqrt{3},|\vec{a}-2 \vec{b}|=3$, 则 $\vec{a} \cdot \vec{b}=()$
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2

嫦娥二号卫星在完成探月任务后, 继续进行深空探测, 成为我国第一颗环绕太阳飞行的 人造行星, 为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值, 用到数列 $\left\{b_{n}\right\}: b_{1}=1+\frac{1}{a_{1}}$, $b_{2}=1+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}}}, \quad b_{3}=1+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}}}}, \cdots$, 依此类推, 其中 $a_{k} \in \mathbf{N}^{\star}(k=1,2, \cdots)$. 则 ()
A. $b_{1}<b_{5}$
B. $b_{3}<b_{8}$
C. $b_{6}<b_{2}$
D. $b_{4}<b_{7}$

设 $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点, 点 $A$ 在 $C$ 上, 点 $B(3,0)$, 若 $|A F|=|B F|$, 则 $|A B|=$ ()
A. 2
B. $2 \sqrt{2}$
C. 3
D. $3 \sqrt{2}$

已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 3 项和为 $168, a_{2}-a_{5}=42$, 则 $a_{6}=()$
A. 14
B. 12
C. 6
D. 3

已知球 $O$ 的半径为 1 , 四棱雉的顶点为 $O$, 底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上, 则当该 四棱雉的体积最大时，其高为（）
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘, 各盘比赛结果相互独立. 已知该棋手与甲、 乙、丙比赛获胜的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$, 且 $p_{3}>p_{2}>p_{1}>0$. 记该棋手连胜两盘的概率为 $p$, 则 ()
A. $p$ 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B. 该棋手在第二盘与甲比赛， $p$ 最大
C. 该棋手在第二盘与乙比赛, $p$ 最大
D. 该棋手在第二盘与丙比赛, $p$ 最大

已知函数 $f(x), g(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$, 且 $f(x)+g(2-x)=5, g(x)-f(x-4)=7$. 若 $y=g(x)$ 的图像关于直线 $x=2$ 对称, $g(2)=4$ ， 则 $\sum_{k=1}^{22} f(k)=()$
A. -21
B. -22
C. -23
D. -24

从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作, 则甲、乙都人选的概率为

记函数 $f(x)=\cos (\omega x+\varphi)(\omega>0,0<\varphi<\pi)$ 的最小正周期为 $T$, 若 $f(T)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $x=\frac{\pi}{9}$ 为 $f(x)$ 的零点, 则 $\omega$ 的最小值为

记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $\sin C \sin (A-B)=\sin B \sin (C-A)$. (1) 证明: $2 a^{2}=b^{2}+c^{2}$;

(2) 若 $a=5, \cos A=\frac{25}{31}$, 求 $\triangle A B C$ 的周长.

某地经过多年的环境治理, 已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某种树木的总材 积量, 随机选取了 10 棵这种树木, 测量每棵树的根部横截面积 (单位: $\mathrm{m}^{2}$ ) 和材积量 (单 位: $\left.\mathrm{m}^{3}\right)$, 得到如下数据:



并计算得 $\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}=0.038, \sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}=1.6158, \sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}=0.2474$. (1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;

(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数 (精确到 0.01);

(3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积, 并得到所有这种树木的根部横截面积 总和为 $186 \mathrm{~m}^{2}$. 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比. 利用以上数据给出该林 区这种树木的总材积量的估计值.

附: 相关系数 $r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{n}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{n}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{n}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}, \sqrt{1.896} \approx 1.377$.

已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点, 对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴, 且过 $A(0,-2), B\left(\frac{3}{2},-1\right)$ 两点.

(1) 求 $E$ 的方程;

(2) 设过点 $P(1,-2)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点, 过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $A B$ 交于 点 $T$, 点 $H$ 满足 $\overrightarrow{M T}=\overrightarrow{T H}$. 证明: 直线 $H N$ 过定点.

在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \cos 2 t \\ y=2 \sin t\end{array}\right.$, ( $t$ 为参数), 以坐标原点 为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$

(1) 写出 $l$ 的直角坐标方程;

(2) 若 $l$ 与 $C$ 有公共点, 求 $m$ 的取值范围.

已知 $a, b, \mathrm{c}$ 都是正数, 且 $a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}=1$, 证明:

(1) $a b c \leq \frac{1}{9}$

(2) $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \leq \frac{1}{2 \sqrt{a b c}}$;