2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科

集合 $M=\{2,4,6,8,10\}, N=\{x \mid-1<x<6\}$, 则 $M \cap N=()$
A. $\{2,4\}$
B. $\{2,4,6\}$
C. $\{2,4,6,8\}$
D. $\{2,4,6,8,10\}$

设 $(1+2 \mathrm{i}) a+b=2 \mathrm{i}$, 其中 $a, b$ 为实数, 则（)
A. $a=1, b=-1$
B. $a=1, b=1$
C. $a=-1, b=1$
D. $a=-1, b=-1$

已知向量 $\vec{a}=(2,1), \vec{b}=(-2,4)$, 则 ||$^{\prime} a-b \mid$ ()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

分别统计了甲、乙两位同学 16 周的各周课外体育运动时长 (单位: $\mathrm{h}$ ), 得如下茎叶图:



则下列结论中错误的是 ()
A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.4
B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 8
C. 甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.4
D. 乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.6

分别统计了甲、乙两位同学 16 周的各周课外体育运动时长 (单位: $\mathrm{h}$ ), 得如下茎叶图:
则下列结论中错误的是（）
A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.4
B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 8
C. 甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.4
D. 乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.6

设 $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点, 点 $A$ 在 $C$ 上, 点 $B(3,0)$, 若 $|A F|=|B F|$, 则 $|A B|=$ ()
A. 2
B. $2 \sqrt{2}$
C. 3
D. $3 \sqrt{2}$

执行下边的程序框图, 输出的 $n=()$
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

如图是下列四个函数中的某个函数在区间 $[-3,3]$ 的大致图像, 则该函数是 ()
A. $y=\frac{-x^3+3 x}{x^2+1}$
B. $y=\frac{x^3-x}{x^2+1}$
C. $y=\frac{2 x \cos x}{x^2+1}$
D. $y=\frac{2 \sin x}{x^2+1}$

已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 3 项和为 $168, a_{2}-a_{5}=42$, 则 $a_{6}=()$
A. 14
B. 12
C. 6
D. 3

函数 $f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 的最小值、最大值分别为 ()
A. $-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$
B. $-\frac{3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2}$
C. $-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}+2$
D. $-\frac{3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2}+2$

已知球 $O$ 的半径为 1 , 四棱雉的顶点为 $O$, 底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上, 则当该 四棱雉的体积最大时，其高为（)
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $2 S_{3}=3 S_{2}+6$, 则公差 $d=$

从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作, 则甲、乙都人选的概率为

过四点 $(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)$ 中的三点的一个圆的方程为

若 $f(x)=\ln \left|a+\frac{1}{1-x}\right|+b$ 是奇函数, 则 $a=$

$b=$

记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知

$\sin C \sin (A-B)=\sin B \sin (C-A)$

(1) 若 $A=2 B$, 求 $C$;

(2) 证明: $2 a^{2}=b^{2}+c^{2}$

某地经过多年的环境治理, 已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某种树木的总材 积量, 随机选取了 10 棵这种树木, 测量每棵树的根部横截面积 (单位: $\mathrm{m}^{2}$ ) 和材积量 (单 位: $\left.m^{3}\right)$, 得到如下数据:



并计算得 $\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}}^{2}=0.038, \sum_{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}=1.6158, \sum_{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}=0.2474$. （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;

(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数 (精确到 0.01 );

(3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积, 并得到所有这种树木的根部横截面积 总和为 $186 \mathrm{~m}^{2}$. 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比. 利用以上数据给出该林 区这种树木的总材积量的估计值.

附: 相关系数 $r=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{n}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{\mathrm{i}=1}^{n}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{\mathrm{i}=1}^{n}\left(y_{\mathrm{i}}-\bar{y}\right)^{2}}}, \sqrt{1.896} \approx 1.377$.

已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点, 对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴, 且过 $A(0,-2), B\left(\frac{3}{2},-1\right)$ 两点.

(1) 求 $E$ 的方程;

(2) 设过点 $P(1,-2)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点, 过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $A B$ 交于

点 $T$, 点 $H$ 满足 $\overrightarrow{M T}=\overrightarrow{T H}$. 证明: 直线 $H N$ 过定点.

在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \cos 2 t \\ y=2 \sin t\end{array}\right.$, ( $t$ 为参数), 以坐标原点 为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$

(1) 写出 $l$ 的直角坐标方程;

(2) 若 $l$ 与 $C$ 有公共点, 求 $m$ 的取值范围.

已知 $a, b, \mathrm{c}$ 都是正数, 且 $a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}=1$, 证明:

(1) $a b c \leq \frac{1}{9}$

(2) $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \leq \frac{1}{2 \sqrt{a b c}}$;