2020 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）理科

若 $\mathrm{z}=1+i$ ，则 $\left|\mathrm{z}^{2}-2 z\right|=(\quad)$
A. 0
B. 1
C. $\sqrt{2}$
D. 2

设集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-4 \leq 0\right\}, B=\{x \mid 2 x+a \leq 0\}$, 且 $A \cap B=\{x \mid-2 \leq x \leq 1\}$, 则 $a=(\quad)$
A. -4
B. -2
C. 2
D. 4

已知 $A$ 为抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 上一点, 点 $A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 12 , 到 $y$ 轴的距离为 9 , 则 $p=()$
A. 2
B. 3
C. 6
D. 9

某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 $y$ 和温度 $x$ (单位: ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ) 的关系, 在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验, 由实验数据 $\left(x_i, y_i\right)(i=1,2, \cdots, 20)$ 得到下面的散点图:由此散点图, 在 $10^{\circ} \mathrm{C}$ 至 $40^{\circ} \mathrm{C}$ 之间, 下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程类型的是 ( )A. $y=a+b x$B. $y=a+b x^2$C. $y=a+b \mathrm{e}^x$D. $y=a+b \ln x$

函数 $f(x)=x^{4}-2 x^{3}$ 的图像在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 ()
A. $y=-2 x-1$
B. $y=-2 x+1$
C. $y=2 x-3$
D. $y=2 x+1$

设函数 $f(x)=\cos \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 的图像大致如下图, 则 $f(x)$ 的最小正周期为（）A. $\frac{10 \pi}{9}$B. $\frac{7 \pi}{6}$C. $\frac{4 \pi}{3}$D. $\frac{3 \pi}{2}$

$\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)(x+y)^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 $(\quad)$
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20

已知 $\alpha \in(0, \pi)$, 且 $3 \cos 2 \alpha-8 \cos \alpha=5$, 则 $\sin \alpha=($ ( )
A. $\frac{\sqrt{5}}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{9}$

已知 $\odot M: x^{2}+y^{2}-2 x-2 y-2=0$, 直线 $l: 2 x+y+2=0, P$ 为 $l$ 上的动点, 过点 $P$ 作 $\odot M$ 的切 线 $P A, P B$, 切点为 $A, B$, 当 $|P M| \cdot|A B|$ 最小时, 直线 $A B$ 的方程为（ ()
A. $2 x-y-1=0$
B. $2 x+y-1=0$
C. $2 x-y+1=0$
D. $2 x+y+1=0$

若 $2^{a}+\log _{2} a=4^{b}+2 \log _{4} b$ ，则（ $)$
A. $a>2 b$
B. $a<2 b$
C. $a>b^{2}$
D. $a<b^{2}$

设 $a, b$ 为单位向量, 且 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1$, 则 $|a-b|=$

已知 $F$ 为双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$

的右焦点, $A$ 为 $C$ 的右顶点, $B$ 为 $C$ 上的点, 且 $B F$ 垂直于 $x$ 轴. 若 $A B$ 的斜率为 3 , 则 $C$ 的离心率为

设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比不为 1 的等比数列, $a_{1}$ 为 $a_{2}, a_{3}$ 的等差中项.

(1) 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比;

(2) 若 $a_{1}=1$, 求数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和.

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛, 约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰; 比赛前抽签决定首先比赛 的两人, 另一人轮空; 每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛, 负者下一场轮空, 直至有一人被淘汰; 当一人被淘汰后, 剩余的两人继续比赛, 直至其中一人被淘汰, 另一人最终获胜, 比赛结束.经抽签, 甲、 乙首先比赛, 丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac{1}{2}$,

(1) 求甲连胜四场的概率;

(2) 求需要进行第五场比赛的概率;

(3) 求丙最终获胜的概率.

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+a x^{2}-x$. （1）当 $a=1$ 时, 讨论 $f(x)$ 的单调性;

(2) 当 $x \geq 0$ 时, $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$, 求 $a$ 的取值范围.

在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^{k} t, \\ y=\sin ^{k} t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数 $)$. 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $4 \rho \cos \theta-16 \rho \sin \theta+3=0$. （1）当 $k=1$ 时, $C_{1}$ 是什么曲线?

(2) 当 $k=4$ 时, 求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点的直角坐标.