2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科

设集合 $A=\{-2,-1,0,1,2\}, B=\left\{x \mid 0 \leq x<\frac{5}{2}\right\}$, 则 $A \cap B=()$
A. $\{0,1,2\}$
B. $\{-2,-1,0\}$
C. $\{0,1\}$
D. $\{1,2\}$

某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识. 为了解讲座效果, 随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:则 ()A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 $70 \%$B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 $85 \%$C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

若 $z=1+\mathrm{i}$. 则 $|\mathrm{i} z+3 \bar{z}|=()$
A. $4 \sqrt{5}$
B. $4 \sqrt{2}$
C. $2 \sqrt{5}$
D. $2 \sqrt{2}$

如图, 网格纸上绘制的是一个多面体的三视图, 网格小正方形的边长为 1 , 则该多面体的体积为 ()
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20

将函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度后得到曲线 $C$, 若 $C$ 关于 $y$ 轴对称，则 $\omega$ 的最小值是（)
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$

从分别写有 $1,2,3,4,5,6$ 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张, 则抽到的 2 张卡片上 的数字之积是 4 的倍数的概率为 ()
A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{2}{3}$

函数 $y=\left(3^x-3^{-x}\right) \cos x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 的图象大致为 ()

当 $x=1$ 时, 函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 -2 , 则 $f^{\prime}(2)=()$
A. -1
B. $-\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1

已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}, A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右顶点, $B$ 为 $C$ 的上顶点. 若 $\overrightarrow{B A_{1}} \cdot \overrightarrow{B A_{2}}=-1$, 则 $C$ 的方程为 ()
A. $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{16}=1$
B. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$
C. $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$
D. $$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$$

已知 $9^{m}=10, a=10^{m}-11, b=8^{m}-9$, 则 ()
A. $a>0>b$
B. $a>b>0$
C. $b>a>0$
D. $b>0>a$

已知向量 $\vec{a}=(m, 3), \vec{b}=(1, m+1)$. 若 $\vec{a} \perp \vec{b}$, 则 $m=$

设点 $M$ 在直线 $2 x+y-1=0$ 上, 点 $(3,0)$ 和 $(0,1)$ 均在 $\odot M$ 上, 则 $\odot M$ 的方程为

记双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $e$, 写出满足条件“直线 $y=2 x$ 与 $C$ 无公 共点”的 $e$ 的一个值

甲、乙两城之间的长途客车均由 $A$ 和 $B$ 两家公司运营, 为了解这两家公司长途客车的运 行情况，随机调查了甲、乙两城之间的 500 个班次，得到下面列联表:



（1）根据上表, 分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;

（2）能否有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?

附: $K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,

$\begin{array}{cccc}P\left(\begin{array}{ll}K^{2} & k\end{array}\right) & 0.100 & 0.050 & 0.010 \\ & 2.706 & 3.841 & 6.635\end{array}$

记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和. 已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$. (1) 证明: $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列;

(2) 若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列, 求 $S_{n}$ 的最小值.

已知函数 $f(x)=x^{3}-x, g(x)=x^{2}+a$, 曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 处的切线也是曲线 $y=g(x)$ 的切线.

(1) 若 $x_{1}=-1$, 求 $a$;

(2) 求 $a$ 的取值范围.

设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 点 $D(p, 0)$, 过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两 点. 当直线 $M D$ 垂直于 $x$ 轴时, $|M F|=3$. (1) 求 $C$ 的方程;

(2) 设直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$, 记直线 $M N, A B$ 的倾斜角分别为 $a, \beta$. 当 $a-\beta$ 取得最大值时, 求直线 $A B$ 的方程.

已知 $a, b, c$ 均为正数, 且 $a^{2}+b^{2}+4 c^{2}=3$, 证明:

(1) $a+b+2 c \leq 3$

(2) 若 $b=2 c$, 则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \geq 3$.