2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科

设 $2(z+\bar{z})+3(z-\bar{z})=4+6 i$ ，则 $z=(\quad)$

A. $1-2 i$

B. $1+2 i$

C. $1+i$

D. $1-i$

已知集合 $S=\{s \mid s=2 n+1, n \in Z\}, T=\{t \mid t=4 n+1, n \in Z\}$, 则 $S \cap T=(\quad)$
A. $\varnothing$
B. $S$
C. $T$
D. $Z$

已知命题 $p: \exists x \in R, \sin x<1$; 命题 $q: \forall x \in R, e^{|x|} \geq 1$, 则下列命题中为真命题的是
A. $p \wedge q$
B. $\neg p \wedge q$
C. $p \wedge \neg q$
D. $\neg(p \vee q)$

设函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$, 则下列函数中为奇函数的是 $(\quad)$
A. $f(x-1)-1$
B. $f(x-1)+1$
C. $f(x+1)-1$
D. $f(x+1)+1$

将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑、冰球和冰显 4 个项目进行培训, 每名 志愿者只分配到 1 个项目, 每个项目至少分配 1 名志愿者, 则不同的分配方案共有（）

A. 60 种

B. 120 种

C. 240 种

D. 480 种

把函数 $y=f(x)$ 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 纵坐标不变, 再把所得曲线 向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度, 得到函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图像, 则 $f(x)=(\quad)$

A. $\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{7 \pi}{12}\right)$

B. $\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)$

C. $\sin \left(2 x-\frac{7 \pi}{12}\right)$ D. $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{12}\right)$

魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作, 其中第一题是测量海盗的高。如图, 点 $\mathrm{E}, \mathrm{H}, \mathrm{G}$ 在水平线 $\mathrm{AC}$ 上, $\mathrm{DE}$ 和 $\mathrm{FG}$ 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度, 称为 “表高”, $\mathrm{EG}$ 称为 “表距”, GC 和 EH 都称为 “表目距”, $\mathrm{GC}$ 与 $\mathrm{EH}$ 的差称为 “表目距的差”。则海岛的高 $\mathrm{AB}=()$.$A ： \frac{\text { 表高 } \times \text { 表距 }}{\text { 表目距的差 }}+$ 表高B： $\frac{\text { 表高}\times\text{表距 }}{\text { 表目距的差 }}-$ 表高$C: \frac{\text { 表高 } \times \text { 表距 }}{\text { 表目距的差 }}+$ 表距.D: $\frac{\text { 表高 } \times \text { 表距 }}{\text { 表目距的差 }}-$ 表距

设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的上顶点, 若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足, $|P B| \leq 2 b ， \quad$ 则 $C$ 的离心率的取值范围是 $(\quad)$

A. $\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$

B. $\left[\frac{1}{2}, 1\right)$

C. $\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$

D. $\left(0, \frac{1}{2}\right]$

设 $a=2 \ln 1.01, b=\ln 1.02, c=\sqrt{1.04}-1$, 则 $($ )
A. $a<b<c$
B. $b<c<a$
C. $b<a<c$
D. $c<a<b$

已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{m}-y^{2}=1(m>0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3} x+m y=0$, 则 $C$ 的焦距

为

已知向量 $\vec{a}=(1,3), \vec{b}=(3,4)$, 若 $(\vec{a}-\lambda \vec{b}) \perp \vec{b}$, 则 $\lambda=$

记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 面积为 $\sqrt{3}, B=60^{\circ}$, $a^{2}+c^{2}=3 a c$, 则 $b=$

某厂研制了一种生产高精产品的设备, 为检验新设备生产产品的某项指标有无提高, 用 一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品, 得到产品该项指标数据如下：



旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$, 样本方差分别 曰为 $S_{1}^{2}$ 和 $S_{2}^{2}$

(1) 求 $\bar{x}, \bar{y}, s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$ :

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\bar{y}-\bar{x} \geq 2 \sqrt{\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}$, 则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否 则不认为有显著提高）。

记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, $b_{n}$ 为数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项积, 已知 $\frac{2}{S_{n}}+\frac{1}{b_{n}}=2$. (1) 证明：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列;

(2) 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式.

设函数 $f(x)=\ln (a-x)$, 已知 $x=0$ 是函数 $y=x f(x)$ 的极值点.

(1) 求 $a$;

(2) 设函数 $g(x)=\frac{x+f(x)}{x f(x)}$, 证明: $g(x)<1$.

已知抛物线 $C: x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$, 且 $F$ 与圆 $M: x^{2}+(y+4)^{2}=1$ 上点的 距离的最小值为 4 .

(1) 求 $p$;

(2) 若点 $P$ 在 $M$ 上, $P A, P B$ 是 $C$ 的两条切线, $A, B$ 是切点, 求 $\triangle P A B$ 面积的最 大值.

在直角坐标系 $x O y$ 中, $\odot C$ 的圆心为 $C(2,1)$, 半径为 1 .
(1) 写出 $\odot C$ 的一个参数方程;
(2) 过点 $F(4,1)$ 作 $\odot C$ 的两条切线. 以坐标原点为极点, $X$ 轴正半轴为极轴建立坐标系, 求 这两条切线的极坐标方程.

已知函数 $f(x)=|x-a|+|x+3|$. (1) 当 $a=1$ 时, 求不等式 $f(x) \geq 6$ 的解集;
(2) 若 $f(x)>-a$, 求 $a$ 的取值范围.