2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科

已知命题 $p: \exists x \in R, \sin x<1$; 命题 $q: \forall x \in R, e^{|x|} \geq 1$, 则下列命题中为真命题的是 ( )
A. $p \wedge q$
B. $\neg p \wedge q$
C. $p \wedge \neg q$
D. $\neg(p \vee q)$

函数 $f(x)=\sin \frac{x}{3}+\cos \frac{x}{3}$ 的最小正周期和最大值分别是 $(\quad)$

A. $3 \pi$ 和 $\sqrt{2}$

B. $3 \pi$ 和 2

C. $6 \pi$ 和 $\sqrt{2}$

D. $6 \pi$ 和 2

$\cos ^{2} \frac{\pi}{12}-\cos ^{2} \frac{5 \pi}{12}=(\quad)$

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 随机取 1 个数, 则取到的数小于 $\frac{1}{3}$ 的概率为 $(\quad)$

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{6}$

下列函数中最小值为 4 的是（ ）

A. $y=x^{2}+2 x+4$

B. $y=|\sin x|+\frac{4}{|\sin x|}$

C. $y=2^{x}+2^{2-x}$

D. $y=\ln x+\frac{4}{\ln x}$

设函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$, 则下列函数中为奇函数的是 $(\quad)$
A. $f(x-1)-1$
B. $f(x-1)+1$
C. $f(x+1)-1$
D. $f(x+1)+1$

设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的上顶点, 点 $P$ 在 $C$ 上, 则 $|P B|$ 的最大值为
A. $\frac{5}{2}$
B. $\sqrt{6}$
C. $\sqrt{5}$
D. 2

设 $a \neq 0$, 若 $x=a$ 为函数 $f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$ 的极大值点, 则
A. $a<b$
B. $a>b$
C. $a b<a^{2}$
D. $a b>a^{2}$

已知向量 $\vec{a}=(2,5), \vec{b}=(\lambda, 4)$, 若 $\vec{a} / / \vec{b}$, 则 $\lambda=$

双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$ 的右焦点到直线 $x+2 y-8=0$ 的距离为

记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 面积为 $\sqrt{3}$,

$B=60^{\circ}, a^{2}+c^{2}=3 a c$, 则 $b=$

某厂研制了一种生产高精产品的设备, 为检验新设备生产产品的某项指标有无提高, 用 一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下:



旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$, 样本方差分别记为 $s_{1}^{2}$ 和 $s_{2}^{2}$. (1) 求 $\bar{x}, \bar{y}, s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$;

(2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\bar{y}-\bar{x} \geq 2 \sqrt{\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}$, 则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高, 否则 不认为有显著提高).

设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 的等比数列, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{n}=\frac{n a_{n}}{3}$. 已知 $a_{1}, 3 a_{2}, 9 a_{3}$, 成等差数 列.

(1) 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式;

(2) 记 $S_{n}$, 和 $T_{n}$ 分别为 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和.证明: $T_{n}<\frac{S_{n}}{2}$.

已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 2 .

(1) 求 $C$ 的方程,

(2) 已知 $O$ 为坐标原点, 点 $P$ 在 $C$ 上, 点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{P Q}=9 \overrightarrow{Q F}$, 求直线 $O Q$ 斜率的最大值.

已知函数 $f(x)=x^{3}-x^{2}+a x+1$. (1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;

(2) 求曲线 $y=f(x)$ 过坐标原点的切线与曲线 $y=f(x)$ 的公共点的坐标.