2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科

设集合 $M=\{x \mid 0<x<4\}, N=\left\{x \mid \frac{1}{3} \leq x \leq 5\right\}$, 则 $M \cap N=($,
A. $\left\{x \mid 0<x \leq \frac{1}{3}\right\}$
B. $\left\{x \mid \frac{1}{3} \leq x<4\right\}$
C. $\{x \mid 4 \leq x<5\}$
D. $\{x \mid 0<x \leq 5\}$

为了解某地农村经济情况, 对该地农户家庭年收人进行抽样调查, 将农户家庭年收人的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图, 下面结论中不正确的是（）A. 该地农户家庭年收人低于 4.5 万元的农户比率估计为 $6 \%$B. 该地农户家庭年收人不低于 10.5 万元的农户比率估计为 $10 \%$C. 估计该地农户家庭年收人的平均值不超过 6.5 万元D. 估计该地有一半以上的农户, 其家庭年收人介于 4.5 万元至 8.5 万元之间

已知 $(1-i)^{2} z=3+2 i$, 则 $z=(\quad)$
A. $-1-\frac{3}{2} i$
B. $-1+\frac{3}{2} i$
C. $-\frac{3}{2}+i$
D. $-\frac{3}{2}-i$

青少年视力是社会普遍关注的问题, 视力情况可借助视力表测量. 通常用五分记录法和小数记录法记录 视力数据, 五分记录法的数据 $L$ 和小数记录表的数据 $V$ 的满足 $L=5+\lg V$. 已知某同学视力的五分记录法 的数据为 4.9 , 则其视力的小数记录法的数据为 $(\quad) \quad(\sqrt[10]{10} \approx 1.259)$
A. 1.5
B. 1.2
C. 0.8
D. 0.6

已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C$ 的两个焦点, $P$ 为 $C$ 上一点, 且 $\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ},\left|P F_{1}\right|=3\left|P F_{2}\right|$, 则 $C$ 的离心率为
A. $\frac{\sqrt{7}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{13}}{2}$
C. $\sqrt{7}$
D. $\sqrt{13}$

在一个正方体中, 过顶点 $A$ 的三条棱的中点分别为 $E, F, G$. 该正方体截去三棱雉 $A-E F G$ 后, 所得多面体的三视图中, 正视图如图所示, 则相应的侧视图是 ( )

等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$, 前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 设甲: $q>0$, 乙: $\left\{S_{n}\right\}$ 是递增数列, 则 ( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.2020 年 12 月 8 日, 中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86 (单位: $\mathrm{m}$ ), 三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一. 如图是三角高程测量法的一个示意图, 现有 $A, B, C$ 三点, 且 $A, B, C$ 在同一水平面上的投影 $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ 满足 $\angle A^{\prime} C^{\prime} B^{\prime}=45^{\circ}, \angle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}=60^{\circ}$. 由 $C$ 点测得 $B$ 点的仰角为 $15^{\circ}, B B^{\prime}$ 与 $C C^{\prime}$ 的差为 100 ; 由 $B$ 点测得 $A$ 点的仰角为 $45^{\circ}$, 则 $A, C$ 两点到水平面 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的高度差 $A A^{\prime}-C C^{\prime}$ 约为 $(\sqrt{3} \approx 1.732)(\quad)$A. 346B. 373C. 446D. 473

若 $a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \tan 2 a=\frac{\cos a}{2-\sin a}$, 则 $\tan a=(\quad)$
A. $\frac{\sqrt{15}}{15}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{15}}{3}$

将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行, 则 2 个 0 不相邻的概率为 $(\quad)$
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{5}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{4}{5}$

已如 $A, B, C$ 是半径为 1 的球 $O$ 的球面上的三个点, 且 $A C \perp B C, A C=B C=1$, 则三棱雉 $O-A B C$ 的体积为 $(\quad)$
A. $\frac{\sqrt{2}}{12}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{12}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}, f(x+1)$ 为奇函数, $f(x+2)$ 为偶函数, 当 $x \in[1,2]$ 时, $f(x)=a x^{2}+b$. 若 $f(0)+f(3)=6$, 则 $f\left(\frac{9}{2}\right)=(\quad)$
A. $-\frac{9}{4}$
B. $-\frac{3}{2}$
C. $\frac{7}{4}$
D. $\frac{5}{2}$

曲线 $y=\frac{2 x-1}{x+2}$ 在点 $(-1,-3)$ 处的切线方程为

已知向量 $\vec{a}=(3,1), \vec{b}=(1,0), \vec{c}=\vec{a}+k \vec{b}$. 若 $\vec{a} \perp \vec{c}$, 则 $k=$

已知 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的两个焦点, $P, Q$ 为 $C$ 上关于坐标原点对称的两点, 且 $|P Q|=\left|F_{1} F_{2}\right|$, 则四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 的面积为

甲、乙两台机床生产同种产品, 产品按质量分为一级品和二级品, 为了比较两台机床产品的质量, 分别 用两台机床各生产了 200 件产品, 产品的质量情况统计如下表:



(1) 甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

(2) 能否有 $99 \%$ 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附: $\quad K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数, 记 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 从下面(1)(2)(3)中选取两个作为条件, 证明另 外一个成立.

(1)数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列: (2)数列 $\left\{\sqrt{S_{n}}\right\}$ 是等差数列; (3) $a_{2}=3 a_{1}$. 注: 若选择不同的组合分别解答, 则按第一个解答计分.

抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$. 焦点在 $x$ 轴上, 直线 $l: x=1$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点, 且 $O P \perp O Q$. 已知 点 $M(2,0)$, 且 $\odot M$ 与 $l$ 相切.

(1) 求 $C, \odot M$ 的方程; (2) 设 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 是 $C$ 上的三个点, 直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 均与 $\odot M$ 相切. 判断直线 $A_{2} A_{3}$ 与 $\odot M$ 的位置关系, 并说明理由.

已知 $a>0$ 且 $a \neq 1$, 函数 $f(x)=\frac{x^{a}}{a^{x}}(x>0)$. （1）当 $a=2$ 时, 求 $f(x)$ 的单调区间;

(2) 若曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=1$ 有且仅有两个交点, 求 $a$ 的取值范围.

在直角坐标系 $x O y$ 中, 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$

(1) 将 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2) 设点 $A$ 的直角坐标为 $(1,0), M$ 为 $C$ 上的动点, 点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$, 写出 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方 程, 并判断 $C$ 与 $C_{1}$ 是否有公共点.