2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科

设集合 $M=\{1,3,5,7,9\}, N=\{x \mid 2 x>7\}$, 则 $M \cap N=(\quad)$
A. $\{7,9\}$
B. $\{5,7,9\}$
C. $\{3,5,7,9\}$
D. $\{1,3,5,7,9\}$

为了解某地农村经济情况, 对该地农户家庭年收人进行抽样调查, 将农户家庭年收人的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图, 下面结论中不正确的是（）A. 该地农户家庭年收人低于 4.5 万元的农户比率估计为 $6 \%$B. 该地农户家庭年收人不低于 10.5 万元的农户比率估计为 $10 \%$C. 估计该地农户家庭年收人的平均值不超过 6.5 万元D. 估计该地有一半以上的农户, 其家庭年收人介于 4.5 万元至 8.5 万元之间

已知 $(1-i)^{2} z=3+2 i$, 则 $z=(\quad)$
A. $-1-\frac{3}{2} i$
B. $-1+\frac{3}{2} i$
C. $-\frac{3}{2}+i$
D. $-\frac{3}{2}-i$

下列函数中是增函数的为 $(\quad ）$
A. $f(x)=-x$
B. $f(x)=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}$
C. $f(x)=x^{2}$
D. $f(x)=\sqrt[3]{x}$

点 $(3,0)$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 的一条渐近线的距离为 $(\quad)$
A. $\frac{9}{5}$
B. $\frac{8}{5}$
C. $\frac{6}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

青少年视力是社会普遍关注的问题, 视力情况可借助视力表测量. 通常用五分记录法和小数记录法记录 视力数据, 五分记录法的数据 $L$ 和小数记录表的数据 $V$ 的满足 $L=5+\lg V$. 已知某同学视力的五分记录法 的数据为 4.9 , 则其视力的小数记录法的数据为 $(\quad) \quad(\sqrt[10]{10} \approx 1.259)$
A. 1.5
B. 1.2
C. 0.8
D. 0.6

在一个正方体中, 过顶点 $A$ 的三条棱的中点分别为 $E, F, G$. 该正方体截去三棱雉 $A-E F G$ 后, 所得多面体的三视图中, 正视图如图所示, 则相应的侧视图是 ( )

在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $B=120^{\circ}, A C=\sqrt{19}, A B=2$, 则 $B C=(\quad)$
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{5}$
D. 3

记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $S_{2}=4, S_{4}=6$, 则 $S_{6}=(\quad)$
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10

将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行, 则 2 个 0 不相邻的概率为 $($ ）
A. 0.3
B. 0.5
C. 0.6
D. 0.8

若 $a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \tan 2 a=\frac{\cos a}{2-\sin a}$, 则 $\tan a=(\quad)$
A. $\frac{\sqrt{15}}{15}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{15}}{3}$

设 $f(x)$ 是定义域为 $\boldsymbol{R}$ 的奇函数, 且 $f(1+x)=f(-x)$. 若 $f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$, 则 $f\left(\frac{5}{3}\right)=(\quad)$
A. $-\frac{5}{3}$
B. $-\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{3}$

若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=3,|\vec{a}-\vec{b}|=5, \vec{a} \cdot \vec{b}=1$, 则 $|\vec{b}|=$

已知 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的两个焦点, $P, Q$ 为 $C$ 上关于坐标原点对称的两点, 且 $|P Q|=\left|F_{1} F_{2}\right|$, 则四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 的面积为

甲、乙两台机床生产同种产品, 产品按质量分为一级品和二级品, 为了比较两台机床产品的质量, 分别 用两台机床各生产了 200 件产品, 产品的质量情况统计如下表:



（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

(2) 能否有 $99 \%$ 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附: $\quad K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $a_{n}>0, a_{2}=3 a_{1}$, 且数列 $\left\{\sqrt{S_{n}}\right\}$ 是等差数列, 证明: $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数 列.

设函数 $f(x)=a^{2} x^{2}+a x-3 \ln x+1$, 其中 $a>0$. (1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;

(2) 若 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴没有公共点, 求 $a$ 的取值范围.

抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$. 焦点在 $x$ 轴上, 直线 $l: x=1$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点, 且 $O P \perp O Q$. 已知 点 $M(2,0)$, 且 $\odot M$ 与 $l$ 相切.

(1) 求 $C, \odot M$ 的方程;

(2) 设 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 是 $C$ 上的三个点, 直线 $A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}$ 均与 $\odot M$ 相切. 判断直线 $A_{2} A_{3}$ 与 $\odot M$ 的位置关系, 并说明理由.

在直角坐标系 $x O y$ 中, 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$

(1) 将 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2) 设点 $A$ 的直角坐标为 $(1,0), M$ 为 $C$ 上的动点, 点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$, 写出 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方 程, 并判断 $C$ 与 $C_{1}$ 是否有公共点.