2020 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）文科

已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-3 x-4<0\right\}, B=\{-4,1,3,5\}$, 则 $\left.A \cap B=（ \quad\right)$
A. $\{-4,1\}$
B. $\{1,5\}$
C. $\{3,5\}$
D. $\{1,3\}$

若 $z=1+2 i+i^{3}$ ，则 $|z|=(\quad)$
A. 0
B. 1
C. $\sqrt{2}$
D. 2

某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 $y$ 和温度 $x$ (单位: ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ) 的关系, 在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验, 由实验数据 $\left(x_i, y_i\right)(i=1,2, \cdots, 20)$ 得到下面的散点图:由此散点图, 在 $10^{\circ} \mathrm{C}$ 至 $40^{\circ} \mathrm{C}$ 之间, 下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程类型的是 ( )A. $y=a+b x$B. $y=a+b x^2$C. $y=a+b \mathrm{e}^x$D. $y=a+b \ln x$

已知圆 $x^{2}+y^{2}-6 x=0$, 过点 $(1,2)$ 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

设函数 $f(x)=\cos \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 的图像大致如下图, 则 $f(x)$ 的最小正周期为（）A. $\frac{10 \pi}{9}$B. $\frac{7 \pi}{6}$C. $\frac{4 \pi}{3}$D. $\frac{3 \pi}{2}$

设 $a \log _{3} 4=2$ ，则 $4^{-a}=(\quad)$
A. $\frac{1}{16}$
B. $\frac{1}{9}$
C. $\frac{1}{8}$
D. $\frac{1}{6}$

执行下面的程序框图, 则输出的 $n=(\quad)$
A. 17
B. 19
C. 21
D. 23

设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列, 且 $a_{1}+a_{2}+a_{3}=1, a_{2}+a_{3}+a_{4}=2$, 则 $a_{6}+a_{7}+a_{8}=(\quad)$
A. 12
B. 24
C. 30
D. 32

设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C: x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的两个焦点, $O$ 为坐标原点, 点 $P$ 在 $C$ 上且 $|O P|=2$, 则 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积为 ( )
A. $\frac{7}{2}$
B. 3
C. $\frac{5}{2}$
D. 2

设向量 $\boldsymbol{a}=(1,-1), \boldsymbol{b}=(m+1,2 m-4)$, 若 ${ }^{\prime} a \perp b^{\prime}$, 则 $m=$

曲线 $y=\ln x+x+1$ 的一条切线的斜率为 2 , 则该切线的方程为

数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+2}+(-1)^{n} a_{n}=3 n-1$, 前 16 项和为 540 , 则 $a_{1}=$

某厂接受了一项加工业务, 加工出来的产品(单位：件)按标准分为 $A, B, C, D$ 四个等级.加工业务约定 : 对于 $A$ 级品、 $B$ 级品、 $C$ 级品, 厂家每件分别收取加工费 90 元, 50 元, 20 元; 对于 $\mathrm{D}$ 级品, 厂家每件要赔 偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为 25 元/件，乙分厂加工成本 费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务, 在两个分厂各试加工了100件这种产品, 并统计了这些 产品的等级, 整理如下:

甲分厂产品等级的频数分布表



乙分厂产品等级的频数分布表



（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 $\mathrm{A}$ 级品的概率;

(2) 分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润, 以平均利润为依据, 厂家应选哪个分厂承接 加工业务?

$\square A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$. 已知 $B=150^{\circ}$. (1) 若 $a=\sqrt{3} c, b=2 \sqrt{7}$, 求 $\square A B C$ 的面积;

(2) 若 $\sin A+\sqrt{3} \sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 求 $C$.

已知函数 $f(x)=e^{x}-a(x+2)$. (1) 当 $a=1$ 时, 讨论 $f(x)$ 的单调性;

(2) 若 $f(x)$ 有两个零点, 求 $a$ 的取值范围.

在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^{k} t, \\ y=\sin ^{k} t\end{array}(t\right.$ 为参数 $)$. 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $4 \rho \cos \theta-16 \rho \sin \theta+3=0$. (1) 当 $k=1$ 时, $C_{1}$ 是什么曲线?

(2) 当 $k=4$ 时, 求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点的直角坐标.