2020 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）理科

已知集合 $U=\{-2,-1,0,1,2,3\}, A=\{-1,0,1\}, B=\{1,2\}$, 则 $\oint_{U}(A \cup B)=()$
A. $\{-2,3\}$
B. $\{-2,2,3\}$
C. $\{-2,-1,0,3\}$
D. $\{-2,-1,0,2,3\}$

若 $\alpha$ 为第四象限角, 则（）
A. $\cos 2 \alpha>0$
B. $\cos 2 \alpha<0$
C. $\sin 2 \alpha>0$
D. $\sin 2 \alpha<0$

在新冠肺炎疫情防控期间, 某超市开通网上销售业务, 每天能完成1200份订单的配货, 由于订单量大幅 增加, 导致订单积压. 为解决困难, 许多志愿者踊跃报名参加配货工作. 已知该超市某日积压 500 份订单末配 货, 预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05 , 志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货, 为使第二天 完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95 ，则至少需要志愿者（）
A. 10 名
B. 18 名
C. 24名
D. 32 名

若过点 $(2,1)$ 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线 $2 x-y-3=0$ 的距离为 $(\quad)$
A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=2, a_{m+n}=a_{m} a_{n}$, 若 $a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{k+10}=2^{15}-2^{5}$, 则 $k=(\quad)$
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

设 $O$ 为坐标原点, 直线 $x=a$ 与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于 $D, E$ 两点, 若 $\square O D E$ 的面积为 8 , 则 $C$ 的焦距的最小值为（）
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32

设函数 $f(x)=\ln |2 x+1-| \ln |2 x-1|$, 则 $f(x)(\quad)$
A. 是偶函数, 且在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 单调递增
B. 是奇函数, 且在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 单调递减
C. 是偶函数, 且在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 单调递增
D. 是奇函数, 且在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 单调递减

已知 $\triangle A B C$ 是面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ 的等边三角形, 且其顶点都在球 $O$ 的球面上. 若球 $O$ 的表面积为 $16 \pi$, 则 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为（）
A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{3}{2}$
C. 1
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

若 $2^{x}-2^{y}<3^{-x}-3^{-y}$, 则（）
A. $\ln (y-x+1)>0$
B. $\ln (y-x+1)<0$
C. $\ln |x-y|>0$
D. $\ln |x-y|<0$

12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用. 若序列 $a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \cdots$ 满足 $a_{i} \in\{0,1\}(i=1,2, \cdots)$, 且存在正整数 $m$ , 使得 $a_{i+m}=a_{i}(i=1,2, \cdots)$ 成立, 则称其为 $0-1$ 周期序列, 并称满足 $a_{i+m}=a_{i}(i=1,2, \cdots)$ 的最小正整数 $m$ 为这个序列的周期.对于周期为 $m$ 的 $0-1$ 序列 $a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \cdots, C(k)=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} a_{i} a_{i+k}(k=1,2, \cdots, m-1)$ 是描述其性质的重要指标, 下列周期为 5 的 $0-1$ 序列中， 满足 $C(k) \leq \frac{1}{5}(k=1,2,3,4)$ 的序列是 $(\quad)$
A. $11010 \cdots$
B. $11011 \cdots$
C. $10001 \cdots$
D. $11001 \cdots$

已知单位向量 $a, b$ 的夹角为 $45^{\circ}, k a-b$ 与 $a$ 垂直, 则 $k=$

14.4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动, 每名同学只去 1 个小区, 每个小区至少安排 1 名同学, 则不同 的安排方法共有 种.

设复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=2, z_{1}+z_{2}=\sqrt{3}+\mathrm{i}$, 则 $\left|z_{1}-z_{2}\right|=$

$\square A B C$ 中, $\sin ^{2} A-\sin ^{2} B-\sin ^{2} C=\sin B \sin C$. (1) 求 $A$;

(2) 若 $B C=3$, 求 $\square A B C$ 周长的最大值.

某沙漠地区经过治理, 生态系统得到很大改善, 野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的 数量, 将其分成面积相近的 200 个地块, 从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区, 调查得 到样本数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, 20)$, 其中 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示第 $i$ 个样区的植物覆盖面积(单位: 公顷)和这种野 生动物的数量, 并计算得 $\sum_{i=1}^{20} x_{i}=60, \sum_{i=1}^{20} y_{i}=1200, \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=80, \sum_{i=1}^{20}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}=9000$, $\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}(-\bar{x}) y_{i}-\bar{y}\right)=800$

(1) 求该地区这种野生动物数量的估计值 (这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平 均数乘以地块数）;

(2) 求样本 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, 20)$ 的相关系数（精确到 0.01$)$;

(3) 根据现有统计资料, 各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动 物数量更准确的估计, 请给出一种你认为更合理的抽样方法, 并说明理由.

附: 相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}(-\bar{x}) y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}(-\bar{x})^{2} \sum_{i=1}^{n} y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}, \quad \sqrt{2}=1.414$.

已知函数 $f(x)=\sin ^{2} x \sin 2 x$. (1) 讨论 $f(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 的单调性;

(2) 证明: $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$;

(3) 设 $n \in N^{*}$, 证明: $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \ldots \sin ^{2} 2^{n} x \leq \frac{3^{n}}{4^{n}}$.

已知曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程分别为 $C_{1}$ : $\left\{\begin{array}{l}x=4 \cos ^{2} \theta, \\ y=4 \sin ^{2} \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), $C_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t}, \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数).

(1) 将 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程化为普通方程;

(2) 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 设 $C_{1}, C_{2}$ 的交点为 $P$, 求圆心在极轴上, 且经过 极点和 $P$ 的圆的极坐标方程.

已知函数 $f(x)=\left|x-a^{2}\right|+|x-2 a+1|$. (1) 当 $a=2$ 时, 求不等式 $f(x) \ldots 4$ 的解集;

(2) 若 $f(x) \ldots 4$, 求 $a$ 的取值范围.