2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）

1 已知 $z=-1-\mathrm{i}$, 则 $|z|=()$
A. 0
B. 1
C. $\sqrt{2}$
D. 2

已知命题 $p: \forall x \in \mathbf{R},|x+1|>1$; 命题 $q: \exists x>0, x^{3}=x$, 则 ( )
A. $p$ 和 $q$ 都是真命题
B. $\neg p$ 和 $q$ 都是真命题
C. $p$ 和 $\neg q$ 都是真命题
D. $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{a}+2 \vec{b}|=2$ ，且 $(\vec{b}-2 \vec{a}) \perp \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}|=()$
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. 1

某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻, 得到各块稻田的亩产量（均在 $[900,1200)$ 之间，单位： kg）并部分整理下表

据表中数据，结论中正确的是（）
A. 100 块稻田亩产量的中位数小于 1050 kg
B. 100 块稻田中亩产量低于 1100 kg 的稻田所占比例超过 $80 \%$
C. 100 块稻田亩产量的极差介于 200 kg 至 300 kg 之间
D. 100 块稻田亩产量的平均值介于 900 kg 至 1000 kg 之间

已知曲线 $C: x^{2}+y^{2}=16(y>0)$, 从 $C$ 上任意一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线段 $P P^{\prime}, P^{\prime}$ 为垂足, 则线段 $P P^{\prime}$的中点 $M$ 的轨迹方程为（）
A. $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1 \quad(y>0)$
B. $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{8}=1(y>0)$
C. $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1(y>0)$
D. $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{8}=1 \quad(y>0)$

设函数 $f(x)=a(x+1)^{2}-1, g(x)=\cos x+2 a x$ ，当 $x \in(-1,1)$ 时，曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 恰有一个交点，则 $a=()$
A. -1
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. 2

已知正三棱台 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{52}{3}, A B=6, A_{1} B_{1}=2$, 则 $A_{1} A$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. 2
D. 3

设函数 $f(x)=(x+a) \ln (x+b)$, 若 $f(x) \geq 0$, 则 $a^{2}+b^{2}$ 的最小值为 $(\quad)$
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1

对于函数 $f(x)=\sin 2 x$ 和 $g(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$, 下列说法正确的有（ ）
A. $f(x)$ 与 $g(x)$ 有相同的零点
B. $f(x)$ 与 $g(x)$ 有相同的最大值
C. $f(x)$ 与 $g(x)$ 有相同的最小正周期
D. $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图像有相同的对称轴

抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的准线为 $l, P$ 为 $C$ 上的动点, 过 $P$ 作 $\star A: x^{2}+(y-4)^{2}=1$ 的一条切线, $Q$ 为切点, 过 $P$ 作 $l$ 的垂线, 垂足为 $B$, 则 ( )
A. $l$ 与 $\odot A$ 相切
B. 当 $P, A, B$ 三点共线时, $|P Q|=\sqrt{15}$
C. 当 $|P B|=2$ 时 $P A \perp A B$
D. 满足 $|P A|=|P B|$ 的点 $P$ 有且仅有 2 个

设函数 $f(x)=2 x^{3}-3 a x^{2}+1$, 则 ( )
A. 当 $a>1$ 时， $f(x)$ 有三个零点
B. 当 $a<0$ 时, $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点
C. 存在 $a, b$, 使得 $\mathrm{x}=\mathrm{b}$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称轴
D. 存在 $a$, 使得点 $(1, f(1))$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称中心