微积分

通过典型收敛数列的极限过程（当 $n\to\infty$ 时，$\dfrac{1}{n}\to 0$，$\dfrac{n}{n+1}\to 1$，$q^{n}\to 0(0<|q|<1)$，$a^{\frac{1}{n}}\to 1(a>0)$），建立并理解数列极限的 $\varepsilon$-$N$ 定义。

探索并证明基本性质：收敛数列是有界数列。

通过典型单调有界数列 $\left\{\dfrac{1}{n}\right\}$，$\left\{\dfrac{n}{n+1}\right\}$，$\{q^{n}\}(0<q<1)$，$\{a^{\frac{1}{n}}\}(a>0)$ 的收敛过程，理解基本事实：单调有界数列必有极限。

掌握数列极限的四则运算法则。

通过典型数列的收敛性，理解 $\mathrm{e}$ 的意义。

通过典型函数的极限过程（当 $x\to a$ 时，$x^{2}\to a^{2}$；当 $x\to a$ 时，$\sin x\to\sin a$；当 $x\to 0$ 时，$a^{x}\to 1(a>0$，且 $a\neq 1)$），理解函数极限的 $\varepsilon$-$\delta$ 定义。

掌握基本初等函数极限的四则运算。

掌握两个重要函数极限：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$，$\lim\limits_{x\to\infty}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}$，并会求其简单变形的极限。

理解连续函数的定义。

了解闭区间上连续函数的有界性、介值性及其简单应用（例如，用二分法求方程近似解）。

借助物理背景与几何背景理解导数的意义，并能给出导数的严格数学定义。

通过导函数的概念，掌握二阶导数的概念，了解二阶导数的物理意义与几何意义。

了解复合函数的求导公式。

理解并证明拉格朗日中值定理，并能用其讨论函数的单调性。

会利用拉格朗日中值定理，证明一些不等式，例如，当 $x>0$ 时，$\sin x<x$，$\ln(1+x)<x$。

会利用导数讨论函数的极值问题，利用几何图形说明一个点是极值点的必要条件与充分条件（不要求数学证明）。

了解微分的概念及其实际意义，并会用符号表示。

通过等分区间求特殊曲边梯形面积的极限过程，理解定积分的概念及其几何意义与物理意义。

在单调函数定积分的计算过程中，通过微分感悟积分与导数的关系，理解并掌握微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式 $f(b)-f(a)=\int_{a}^{b} f'(t)\,\mathrm{d}t$）。

会利用基本初等函数的导数表和牛顿-莱布尼茨公式，求一些简单函数的定积分。

会利用定积分计算某些封闭图形的面积，计算球、圆锥、圆台和三棱锥、三棱台的体积；能利用定积分解决简单的做功问题和重心问题。