主题二 函数

在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（参见案例 2），体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。

在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法等）表示函数，理解函数图象的作用。

通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用和实际意义。

结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。

结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。

收集、阅读函数的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述函数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。

通过具体实例，结合 $y=x$，$y=\dfrac{1}{x}$，$y=x^{2}$，$y=\sqrt{x}$，$y=x^{3}$ 的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。

通过对有理数指数幂 $a^{\frac{m}{n}}$（$a>0$，且 $a\neq 1$；$m$，$n\in\mathbf{Z}$，且 $n\neq 0$）、实数指数幂 $a^{x}$（$a>0$，且 $a\neq 1$；$x\in\mathbf{R}$）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。

通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。

能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。

通过具体实例，了解对数函数的概念。能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

知道对数函数 $y=\log_{a}x$ 与指数函数 $y=a^{x}$ 互为反函数（$a>0$，且 $a\neq 1$）。

＊收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用。

了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性（参见案例 3）。

借助单位圆理解三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值。借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（$\alpha\pm\frac{\pi}{2}$，$\alpha\pm\pi$ 的正弦、余弦、正切）。

借助图象理解正弦函数、余弦函数在 $[0，2\pi]$ 上，正切函数在 $\left(-\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{\pi}{2}\right)$ 上的性质。

结合具体实例，了解 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$（$A\neq 0$，$\omega\neq 0$）的实际意义；能借助图象理解参数 $\omega$，$\varphi$，$A$ 的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。

理解同角三角函数的基本关系式：$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$，$\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x$。

经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。

能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）。

会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型（参见案例 4）。

结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系。

结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性。

理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。

结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义。

收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义。